有栖川は有栖川宮と関係があるのでしょうか。

よくは知りませんが、当然地名から付けられているはずです。有栖川宮は旧高松宮で、御所の東北に邸宅が位置していたはずですから、場所的には東西に隔たっていますが、改称時に何か特別の思いがあったのかも分かりません。少し調べてみます。