ふと思ったのですが、漢字はどのくらい昔に日本に伝わり、文化として定着したのでしょうか？

現在出土している遺物としては、滋賀県大戌亥・鴨田遺跡で発見された、３世紀中頃の「卜」字の刻書のある土器が最古かなと思います。ただしこれは、文字として認識されていなかった可能性も高いですね。いずれにしろ、朝鮮諸国や中国王朝と外交関係にあった紀元前後の時期には、列島にも漢字を使用できる人間がいたことは充分考えられます。しかし恐らくそれは渡来人で、支配層全体にも普及するには至っていなかったでしょう。