高校で日本史を習っておらず、ついてゆけるか心配なのですが、高校の教科書で勉強するのはよくありませんか？

別に、高校の教科書を使うのが悪いとはいいません。基本的な知識を簡易に得るうえでは便利かも知れません。しかし重要なのは、それらの記述を疑って読む、批判的に読み込むことですね。なお、大学生としてもう少し高度なものに挑戦したい、ということであれば、以下の概説書をお薦めしておきます。しかしこれについても、やはり「批判的に読み込む」ことが大事です。
・石川日出志、吉村武彦他『シリーズ日本古代史』1〜6、岩波新書、2010〜2011年
・松木武彦、平川南他『全集日本の歴史』1〜4（古代の部分のみ）、小学館、2007〜2008年
・白石太一郎、石上英一他『日本の時代史』1〜7（古代の部分のみ）、吉川弘文館、2002年