公孫氏の燕国と邪馬台国が外交関係を持っていたとして、燕国には何か政治的利益があったのでしょうか。

公孫氏は常に魏と呉を相手にしなければならなかったので、例えば管理下に置いていた朝鮮半島は、兵站としても重要な意味を担っていたでしょう。その南方にある邪馬台国と友好関係を結んでおけば、後の備えとして重要な意味を持ったはずです。