都内にも「茅場町」という地名がありますが、そこも昔は茅場だったのでしょうか？

本来の茅場ではなかったようですね。江戸城の拡張工事に際して、それに用いる茅材を供給した専門の商家を集住させた場所である、というのが通説であるようです。